Question

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．

（1）求直线l及曲线的极坐标方程；

（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.

Answer

（1）直线l的极坐标方程为.的极坐标方程为

（2）

【解析】

（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线的极坐标方程；

（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．

（1）消去直线l参数方程中的t，得，

由，得直线l的极坐标方程为，

故．

由点Q在OP的延长线上，且，得，

设，则，

由点P是曲线上的动点，可得，即，

所以的极坐标方程为．

（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，，

所以，，

所以，

所以当时，取得最大值，为．