Question

已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别是、，且椭圆上一动点到的最远距离为，过的直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当以为直角时，求直线的方程；

（3）直线的斜率存在且不为0时，试问轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）直线的方程为或（3）存在，

【解析】

（1）由椭圆的离心率，且椭圆上一动点到的最远距离为，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）设直线：，则：，联立方程组，求得的值，即可求得直线的方程；

（3）设：，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，再由斜率公式和以，即可求解点的坐标，得到答案.

（1）由题意，椭圆的离心率，且椭圆上一动点到的最远距离为，

可得，解得，所以椭圆的标准方程为.

（2）由题意可知，当不存在时，不符合题意.

设直线：，则：，

∴，得，∴

∴，，∴，

直线的方程为或.

（3）设，，，：，

∴，

∴，，

∵，，所以，

∴，∴，

∴，，∴.