Question

若函数是定义在上的奇函数，且当时，.

（Ⅰ）若，求函数的解析式；

（Ⅱ）若，方程至少有两个不等的解，求的取值集合；

（Ⅲ）若函数为上的单调减函数，

①求的取值范围；

②若不等式成立，求实数的取值集合.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）①，②

【解析】

首先根据函数的奇偶性求出函数解析式为，

（Ⅰ）将代入即可；（Ⅱ）将代入求出此时函数解析式，画出函数图象，方程的解，转化为函数与的交点，数形结合即可求解；（Ⅲ）将各段函数配成标准式，求出其对称轴，根据函数在定义域上单调递减求出参数的值，根据函数的奇偶性及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，最后解一元二次不等式即可；

【解析】
因为函数是定义在上的奇函数，且当时，.

设则，

因为

所以，，

综上

（Ⅰ）当时，；

（Ⅱ）当时，，可画函数图象如下所示：

因为方程至少有两个不等的解，即函数与至少有两个交点，

从函数图象可知

即

（Ⅲ）因为函数为上的单调减函数，

①当时，对称轴，所以在上单调递减，

由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，

所以时，在上为单调递减函数，

当时，在递增，在上递减，不合题意，

所以函数为单调减函数时，的范围为．

②，，

又是奇函数，，

又因为为上的单调递减函数，所以，

即解得或

即