Question

已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

Answer

（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.

（1）

令，则

当时，令，解得：

当时，；当时，

在上单调递增；在上单调递减

又，，

即当时，，此时无零点，即无零点

，使得

又在上单调递减 为，即在上的唯一零点

综上所述：在区间存在唯一零点

（2）若时，，即恒成立

令

则，

由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减

且，，

，

①当时，，即在上恒成立

在上单调递增

，即，此时恒成立

②当时，，，

，使得

在上单调递增，在上单调递减

又，

在上恒成立，即恒成立

③当时，，

，使得

在上单调递减，在上单调递增

时，，可知不恒成立

④当时，

在上单调递减

可知不恒成立

综上所述：