Question

正项数列的前项和为，且.

（Ⅰ）试求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求的前项和为.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得的表达式,由两式相减,变形即可证明数列为等差数列,进而结合首项与公差求得的通项公式.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.将与代入即可求得数列的通项公式,利用裂项法即可求得前项和.

（Ⅲ）先求得的取值范围,结合不等式,即可求得的取值范围.

（Ⅰ）因为正项数列的前项和为,且

化简可得

由递推公式可得

两式相减可得,变形可得

即,由正项等比数列可得

所以

而当时,解得

所以数列是以为首项,以为公差的等差数列

因而

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

则

代入中可得

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知

则,所以数列为单调递增数列,则

且当时, ,即

所以

因为对一切的恒成立

则满足,解不等式组可得

即实数的取值范围为