Question

设，为椭圆的左、右焦点，动点的坐标为，过点的直线与椭圆交于，两点.

（3）求，的坐标；

（4）若直线，，的斜率之和为0，求的所有整数值.

Answer

（1），；（2），，，，.

【解析】

试题（1）根据条件中给出的椭圆的标准方程即可求解；（2）设出直线的方程，将其与椭圆方程联立后利用韦达定理结合条件斜率之和为0可得到的函数表达式，求得其范围后即可求解.

试题解析：（1）由椭圆的标准方程是，可知，；（2）①当直线的斜率不存在时，由对称性可知；②当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，，，

由题意得，，直线的斜率为，直线的斜率为，

直线的斜率为，由题意得，

化简整理得，

将直线方程代入椭圆方程，化简整理得

，

由韦达定理得，，代入并化简整理得

，从而，

当时，；

当时，，故的所有整数值是，，，，.