设函数，. （1）若，求函数的单调区间；（2）若，且函数在区间内有两个极值点，...

设函数，.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，且函数在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围；

（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的，.

（1）递减区间为，递增区间为；（2）；（3）见解析【解析】（1）求解，利用，，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；（2），其中，再次构造函数令，分析的零点情况，，令，，列表分析得出单调性，判断，分类讨论求解①若，②若，③若，的单调性，最大值，最小值，确定有无零点转化为极值即可；（3）存在：，恒成立，再运用导数判断证明，令，，，求解最大值，得出即可. （1）当时，，，令，，列表分析 x 1 0 单调递减极小值单调递增故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），，其中，令，分析的零点情况. ，令，，列表分析 x 0 单调递减极小值单调递增，而，，， ①若，则，故在内没有极值点，舍； ②若，则，，，因此在有两个零点，设为，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，此时在内有两个极值点； ③若，则，，，因此在有一个零点，在内有一个极值点；综上所述，实数a的取值范围为. （3）存在：，恒成立. 证明如下：由（2）得在上单调递增，且，. 因为当时，（*），所以. 故在上存在唯一的零点，设为. 由 x 0 单调递减极小值单调递增知，. 又，而时，（**），所以. 即，. 所以对任意的正数a，都存在实数，使对任意的，使. 补充证明（*）：令，.，所以在上单调递增. 所以时，，即. 补充证明（**）令，，，所以在上单调递减. 所以时，，即.

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考点分析：

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