Question

若椭圆：（）与椭圆：（）的焦距相等，给出如下四个结论：

①和一定有交点；

②若，则；

③若，则；

④设与在第一象限内相交于点，若，则．

其中，所有正确结论的序号是______．

Answer

②④

【解析】

通过时的图像可知和没有交点，根据两椭圆相同，结合，得到，根据分析法得到所需条件与矛盾，根据椭圆对称性，结合得到两椭圆之间离心率的关系，从而得到.

对于结论①，当时，椭圆的图像完全在椭圆的内部，

此时和没有交点，所以①错误；

对于结论②，因为两椭圆的焦距相等，即相等，可得，

因为，所以得到

由可得，

所以得到，

所以得到，所以②正确；

对于结论③，由可得，

即，即，

从而得到，与条件中的矛盾，

所以③错误；

对于结论④，因为两椭圆的相同，若两椭圆的离心率相同，

则根据对称性可知，两椭圆在第一象限的交点，其横纵坐标应相等，

而此时与在第一象限内相交于点，，

则椭圆更接近圆，或椭圆更扁，即，

所以，得到，

所以④正确.

故答案为：②④.