Question

某学习软件以数学知识为题目设置了一项闯关游戏，共有15关，每过一关可以得到一定的积分，现有三种积分方案供闯关者选择.方案一：每闯过一关均可获得40积分；方案二：闯过第一关可获得5积分，后面每关的积分都比前一关多5；方案三：闯过第一关可获得0.5积分，后面每关的积分都是前一关积分的2倍.若某关闯关失败则停止游戏，最终积分为闯过的各关的积分之和，设三种方案闯过n（且）关后的积分之和分别为，要求闯关者在开始前要选择积分方案．

（1）求出的表达式；

（2）为获得尽量多的积分，如果你是一个闯关者，试分析这几种积分方案该如何选择？小明通过试验后觉得自己至少能闯过12关，则他应该选择第几种积分方案？

Answer

（1）；；（2）见解析，小明应该选择方案三.

【解析】

（1）根据题意，分别得到各方案所对应的数列，从而得到；

（2）令，分别得到的范围，结合题意中的，从而做出判断.

（1）按方案一闯过各关所得积分构成常数数列，故；

按方案二闯过各关所得积分构成首项为5，公差为5的等差数列，故；

按方案三闯过各关所得积分构成首项为，公比为2的等比数列，故．

（2）令，即，解得，

而当时，，

又因为且，故恒成立，

故方案二不予考虑.

令，即，解得，

故有，当时，；当，，

故当能闯过的关数小于10时，应选择方案一；

当能闯过的关数大于等于10时，应选择方案三.

小明应该选择方案三.