Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且．

（1）在PD上是否存在一点F，使得平面PAB，若存在，找出F的位置，若不存在，请说明理由；

（2）求二面角的大小．

Answer

（1）在BC上存在点F，当时，有平面PAB.（2）

【解析】

（1）根据条件可得、、两两垂直，以为原点建立坐标系，设，从而得到，若平面，则与平面的法向量垂直，从而得到关于的方程，得到的值，确定出的位置；

（2）利用空间向量求出平面，平面的法向量，根据向量夹角公式，得到两平面法向量的夹角，从而得到二面角的大小.

（1）∵平面ABCD，平面ABCD，

∴，

又，

∴，

则可以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

假设在PD上存在一点F，使得平面PAB，

设，

由，得，

由可得，

又，故.

因为，，平面，

所以平面，

故可取平面PAB的一个法向量为，

若平面PAB，则，解得，

故在BC上存在点F，当时，有平面PAB.

（2）由（1）可知

∴

设平面PAD的法向量

则，

令，则，

此时

设平面PBD的法向量

则，

令，则

此时

∴，

∴

∵二面角为锐二面角，

∴二面角的大小为.