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在中,两直角边AB,AC的长分别为m,n(其中),以BC的中点O为圆心,作半径为...

中,两直角边ABAC的长分别为mn(其中),以BC的中点O为圆心,作半径为r)的圆O

1)若圆O的三边共有4个交点,求r的取值范围;

2)设圆O与边BC交于PQ两点;当r变化时,甲乙两位同学均证明出为定值甲同学的方法为:连接APAQAO,利用两个小三角形中的余弦定理来推导;乙同学的方法为;以O为原点建立合适的直角坐标系,利用坐标法来计算.请在甲乙两位同学的方法中选择一种来证明该结论,定值用含mn的式子表示.(若用两种方法,按第一种方法给分)

 

(1)(2)见解析 【解析】 (1)计算出圆与边、边相切时的半径,从而得到满足要求的r的取值范围; (2)甲同学方法:连接,,,利用余弦定理,表示出、,然后通过计算,得到,乙同学方法:以点为原点,建立坐标系,设点,将用坐标表示,通过计算,得到. (1)因为,故当圆与边相切时, 此时圆与的三边共有3个交点; 当圆与边相切时,, 此时圆与的三边共有5个交点, 故当时,圆与的三边共有4个交点. (2)甲同学方法:连接,,, 在中,由余弦定理可得:① 在中,由余弦定理可得:② 由,得, 又, 故①②得:, 故 乙同学方法:以点为原点,建立如图所示直角坐标系, 易知 设点,则 .
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一定有交点;

②若,则

③若,则

④设在第一象限内相交于点,若,则

其中,所有正确结论的序号是______

 

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