椭圆C：（）的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段...

椭圆C：（）的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线PM交C的长轴于点，求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线、的斜率分别为、，若，试证明为定值，并求出这个定值．

（1）（2）（3）见解析，定值为. 【解析】（1）根据过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3，得到，根据离心率得到，从而得到和的值；（2）设，表示出和的直线方程，根据题意得到到两直线的距离相等，得到和的关系，从而得到的范围；（3）直线的方程为，与椭圆联立，由，得到，表示出，从而得到，整理化简后，得到定值. （1）由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，又，所以，所以椭圆C的方程为（2）设（）又，所以直线的方程分别为，，由题意知，由于点在椭圆上，所以，，所以，因为，，所以，所以．因此．（3）设（），则直线的方程为联立整理得. 由题意得，即. 又，所以，故. 而，所以，因此为定值，这个定值为.

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考点分析：

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