Question

已知函数的定义域为区间，若对于内任意，都有成立，则称函数是区间的“函数”.

（1）判断函数（）是否是“函数”？说明理由；

（2）已知，求证：函数（）是“函数”；

（3）设函数是,（）上的“函数”，，且存在使得，试探讨函数在区间上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）.

Answer

（1）是，理由见解析；（2）证明见解析；（3）0、1或2个，图象见解析.

【解析】

(1)由题意直接判断即可； (2)由题意直接判断即可； (3)举例即可得出结论．

(1)是，理由如下：

任取，且，

则成立，

故函数是“函数”.

(2)证明：事实上，任取，且，

则成立，即得证；

(3)函数在上的零点个数可以为0、1或2个.

例如，是函数，如图，

其零点个数为0；

是函数，如图，

其零点个数为1；

是函数，如图，

其零点个数为2；

函数不可能有个零点，假设均是零点，且，

则由可知，势必上恒大于，从而导致矛盾.