Question

如图，正三棱柱中，，D为AC中点.

（1）求异面直线与BD所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接,可得为异面直线与BD所成角，设正三棱柱的棱长为，在中，利用余弦定理即可求解.

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

（1）取的中点，连接,

根据题意可得，为异面直线与BD所成角，

设正三棱柱的底边边长为，则，

所以,,，

在中，由余弦定理可得.

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量，

则，即，令，则，

所以，

设直线与平面所成角为，