Question

已知函数，.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）当时，求的极值点；

（3）若为R上的单调函数，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）极大值点为，极小值点为；（3）

【解析】

（1）首先求出切点，再求出，利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.

（2）先求导数，再讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，通过列表来确定极值点即可.

（3）根据导函数，由为R上的单调函数，若为R上的单调增函数，故恒成立，根据二次函数的性质，得到，为R上的单调递减函数时，则恒成立，得到，进而可求解.

（1），所以切点为，

曲线在处的切线方程：，即，

故曲线在处的切线方程为.

（2）当时，，

由，得，，

当变化时，与的相应变化如下表：

，

所以是的极大值点，是的极小值点.

（3）当为R上的单调递增函数时，

则恒成立，即恒成立，

当时，则恒成立，

当时，，解得，

当为R上的单调递减函数时，

则恒成立，即，

当时，则不恒成立，

当时，，无解.

综上所述，.