Question

椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点O的直线与C交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求k的值；

（3）求面积取最大值时直线l的方程.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用两点间的距离公式以及离心率求出，再由，即可求解.

（2）设，由，消元利用韦达定理求得线段的中点，再根据线段的中点在上，可求出解.

（3）由（2）求出，到直线的距离，即可求得的面积，从而问题得解.

（1）由题意可得，解得，

，

椭圆C的方程.

（2）设，由直线不过原点，可得.

由 ，消元可得①,

,

线段的中点，

在上，易知直线的解析式为，

，.

（3）由（2），将①化为，

又直线与椭圆相交，

，

，

，

又到直线的距离，

的面积，

令，

则，

，

，取得最大值，即取得最大值，

所求直线的方程为.