Question

某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米.

（1）请计算原棚户区建筑用地的面积及的长；

（2）因地理条件的限制，边界不能更改，而边界可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地的面积最大，并求出最大值.

  

Answer

(1) 万米. 万平方米.

(2) 所求面积的最大值为万平方米，此时点为弧ABC的中点.

【解析】

试题(1)利用圆内接四边形得到对角互补，再利用余弦定理求出相关边长，再利用三角形的面积公式和分割法进行求解 ；(2)利用余弦定理和基本不等式进行求解．

试题解析：(1)根据题意知，四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.

在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，

即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.

在△ADC中，由余弦定理，得

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.

又cos∠ABC＝－cos∠ADC，

∴cos∠ABC＝，AC2＝28，即AC＝2万米，

又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.

∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin＝8 (平方万米)．

(2)由题意知，S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，

且S△ADC＝AD·CD·sin＝2 (平方万米)．

设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xysin＝xy.

在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，

又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，

当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤28.

∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9 (平方万米)，

故所求面积的最大值为9平方万米，此时点P为弧ABC的中点．