Question

在中，，，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D、E（图一），沿DE将折起，使得平面平面BDEC（图二）．

（1）若F是AB的中点，求证：平面ADE．

（2）P是AC上任意一点，求证：平面平面PBE．

（3）P是AC上一点，且平面PBE，求二面角的大小．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

（1）取BD的中点为M，连续FM，CM，通过证明面面ADE，由此证得面ADE；（2）由平面几何知识可知，，平面平面BDEC，则平面BDEC，从而，根据线面垂直的判定定理可知面ACD，而面PBE，最后根据面面垂直的判定定理可知平面平面PBE；

（3）根据（2）面ACD，设，则，，根据二面角平面角的定义可知为二面角的平面角，在三角形PQC中求出此角即可．

（1）证明：取BD的中点为M，连续FM，CM

为AB的中点，，

由题知为等边三角形，，又

，∴面面ADE，面CMF，面ADE

图1 图2

（2）证明：由平面几何知识：，，平面平面BDEC

平面BDEC，，面ACD，面PBE，

∴平面平面PBE

（3）由（2）面ACD，

设，

由题意知，，

为二面角的平面角

，，，

∴二面角的大小为