Question

已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随直线，特别地，当时，又称为的—伴随直线．

①求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；

②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer

（1）当时，的极大值为 （2） ①证明见解析 ②存在，曲线C：

【解析】

（1）求出导函数，对分类讨论，格局导函数符号确定函数的单调性，进而求出极值点和对应的极值．

（2）①问题等价于证明存在，使成立，且Q不在上．令，再根据函数的单调性证明即可． ②设，根据斜率公式求得RS的斜率，即可得到曲线的方程．

（1）

当，，函数在内是增函数

∴函数没有极值

当时，令，得．

当变化时，与变化情况如下表：

＋

0

－

单调递增

极大值

单调递减

∴当时，取得极大值

综上，当时，没有极值

当时，的极大值为，没有极小值

（2）①设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上

∵，即证存在，使得

即成立，且点不在上

以下证明方程在内有解

记，则

令

∴

∴在内是减函数

∴

取，则，即

同理可证

∴

∴函数在内有零点

即方程在内有解

又对于函数取，则

可知，即点Q不在上

是增函数，∴的零点是唯一的

即方程在内有唯一解

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的

②取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线

证明如下：设是曲线C上任意两点

则

又

即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线

所以曲线方程为满足条件