Question

若函数满足：对于其定义域内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数在上封闭.

（1）若下列函数：，的定义域为，试判断其中哪些在上封闭，并说明理由.

（2）若函数的定义域为，是否存在实数，使得在其定义域上封闭？若存在，求出所有的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.

（3）已知函数在其定义域上封闭，且单调递增，若且，求证：.

Answer

（1）在上封闭，理由见解析；（2）存在，，证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；

（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a的值．

（3）函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增，假设，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f（x0）=x0．

（1）当时，，

∴在上不封闭；

，

∴在上封闭.

（2）设存在实数，使得在上封闭，

即对一切，恒成立，

∵，∴，

即恒成立，

∵∴；

∵∴.

综上，满足条件的.

（3）假设，

①若，∵，在上单调递增，

∴，即，矛盾；

②若，∵，，在上单调递增，

∴，即，矛盾.

∴假设不成立，.