Question

设定义在上的函数、和，满足，且对任意实数、（），恒有成立.

⑴试写 出一组满足条件的具体的和，使为增函数，为减函数，但为增函数.

⑵判断下列两个命题的真假，并说明理由.

命题1）：若为增函数，则为增函数；

命题2）：若为增函数，则为增函数.

⑶已知，写出一组满足条件的具体的和，且为非常值函数，并说明理由.

Answer

(1)答案不唯一，见解析；(2) 命题1）为真，命题2）为假，理由见解析；(3) 答案不唯一，详见解析.

【解析】

(1)根据题意找出满足条件的一组和即可，答案不唯一；

(2) 命题1）为真命题，结合单调性定义进行说明；命题2）为假命题，列举反例即可；

(3)由写出一组符合题意的和即可.

(1) 为上的增函数，为上的减函数，为增函数.

(2) 命题1）：若为增函数，则为增函数，是真命题；

理由如下：设，由为增函数可得；

若为增函数或者常数函数，则一定为增函数；

若满足，则由可得

，

，即，所以为增函数；

命题2）：若为增函数，则为增函数，是假命题；

如为减函数，为增函数，但是不是增函数.

(3) 答案不唯一；由，

令，为增函数，非常数函数，

则，

所以为增函数.