Question

已知函数.

（1）若时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数在时取得极值，当时，求使得恒成立的实数的取值范围；

（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据函数在某点处导数的几何意义，可得切弦的斜率，利用点斜式可得结果.

（2）根据，可得，然后利用导数判断函数在的单调性，并根据的最值与的关系，可得结果.

（3）采用等价转化的思想，可得在恒成立，并使用分离参数，构建新函数，根据的最值与的大小关系，可得结果.

（1）时，，

，

，，

故切线方程是：，

即；

（2），

，解得：，

∴，

，

令，解得：或，

令，解得：，

∴在递增，在递减，

∴的最小值是或，

而，，

∴；

（3）若函数在区间上单调递减，

则在恒成立，

即在恒成立，

令，，

在恒成立，

∴在递减，，

∴.