Question

如图，三棱柱的底面是正三角形，底面，M为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，且沿侧棱展开三棱柱的侧面，得到的侧面展开图的对角线长为，求作点在平面内的射影H，请说明作法和理由，并求线段AH的长．

Answer

（1）证明见解析（2）作法见解析，理由见解析，

【解析】

（1）连结，交于点O，连结OM，先证明，进而得证；

（2）过作于H，通过证明平面，可得证；在中，由射影定理，有，可计算得AH.

（1）如图，

连结，交于点O，连结OM．

因为三棱柱的侧面是平行四边形，所以O为中点，

因为M为的中点，所以．

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）过作于H，

因为平面，平面，所以，

因为是正三角形，M为的中点，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，所以，

又因为，平面，

所以平面于H，

所以H为点在平面内的射影．

因为三棱柱侧面展开图是矩形，

且对角线长为，侧棱，

所以三棱柱底面周长为．

又因为三棱柱的底面是正三角形，

所以底面边长，

在中，，

由射影定理，有，

即，所以．