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设为非空实数集(至少有两个元素),若对任意,都有,且,则称为封闭集,则下列四个判...

为非空实数集(至少有两个元素),若对任意,都有,且,则称为封闭集,则下列四个判断:

①集合为封闭集,则为无限集;             ②集合为封闭集;

③若集合为封闭集,则为封闭集;  ④若为封闭集,则一定有;,

其中正确的命题个数有(    .

A.4 B.3 C.2 D.1

 

B 【解析】 ①:运用反证法进行判断即可; ②:运用所给的定义进行判断即可; ③:结合②,再举个封闭集,进行判断即可; ④:当且,根据进行判断即可; ①:假设封闭集合中有个元素,,设这个个元素从小到大排列为: ,显然这个元素必有正数,如果没有正数,那么两个数的积就是正数或零,显然这是不可能的,故一定有,当时,,显然,这与集合是封闭集矛盾,故至少有两个元素封闭集一定是无限集,因此本命题是真命题; ②:设,所以有, ; ; ,故集合为封闭集,因此本命题是真命题; ③:由②可知:为封闭集,同理也是封闭集, 当时,,所以不是封闭集,因此本命题是假命题; ④:为封闭集,当且时,,因此本命题是真命题. 故选:B
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