Question

市实施全域旅游，将乡村旅游公路建设与特色田园乡村发展结合，精心打造全长365公里的“1号公路”，对内串联区域内主要景区景点和自然村，对外通达周边县（市），以路引景、为景串线，形成一个“大环小圈、内连外引”的路网体系.如今的“1号公路”，不仅成为该市旅游业的“颜值担当”，更成为推动乡村振兴的“实力担当”，农村居住环境日益改善，新农村别墅随处可见.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为（即：平面，垂足为；，垂足为）.已知，梯形的面积是面积的2.2倍..

（1）当时，求屋顶面积的大小；

（2）求屋顶面积关于的函数关系式；

（3）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为.现欲造一栋上、下总高度为的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）首先根据已知得到，根据得到，再计算屋顶面积即可.

（2）首先利用表示出，从而得到的面积为，再由已知条件即可得到屋顶面积关于的函数关系式.

（3）首先根据题意得到：别墅总造价为，再利用换元法和三角函数的性质即可得到最小值.

（1）由题意平面.

又因为平面，得.

在中，，

所以.

因此的面积为.

则屋顶面积

（2）在中，，

所以.

因此的面积为.

从而屋顶面积.

所以屋顶面积关于的函数关系式.

（3）在中，，所以主体高度为.

所以别墅总造价为

.

令，则.

设，由三角函数定义可知点是单位圆上一个动点，

可知为经过点与点的直线的斜率.

直线的方程为，即.

因为直线与单位圆相切或相交，

所以单位圆圆心到直线的距离，

所以，解得或.

因为，所以，所以.

所以，

当且仅当时取“”

此时，即.

因为，因为.

即时有最小值.

答：当时，总造价最低.