Question

已知函数，.

（1）解方程；

（2）判断在上的单调性，并用定义加以证明；

（3）若不等式对恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）或（2）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析

（3）

【解析】

（1）由已知得，解方程即可；

（2）任取，且，则，分和讨论可得答案；

（3）将不等式对恒成立问题转化为，的最小值问题，求出的最小值即可得的取值范围.

（1）由已知.

所以，得或，

所以或；

（2）任取，且，则.

因为，且，

所以，.

当时，恒成立，

，即；

当时，恒成立，

，即.

故在上单调递减，在上单调递增；

（3），，

令，.

由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，

即，

故的取值范围是.