Question

已知函数

（1）当函数存在零点时，求的取值范围；

（2）讨论函数在区间内零点的个数.

Answer

（1）或（2）当，在区间上没有零点；当或时，在上只有1个零点；当时，在区间上有2个零点.

【解析】

（1）将问题转化为一元二次方程有根的问题，根据进行计算；

（2）根据二次函数的对称轴，以及的正负，结合零点存在定理，对参数进行分类讨论即可.

（1）因为函数有零点，

所以方程有实数根.

所以，解得，或

因此，所求的取值范围是，或.

（2）由题意可知的对称轴为，

由（1）知：①当时，，

故在内没有零点；

②当时，对称轴,

故在上单调递增.

又因为，故在区间恒成立，

故在区间上没有零点；

③当时，=，则函数零点为，

故在区间上只有一个零点；

④当时，对称轴，且，

又因为

当时，即时，由零点存在定理得

函数在区间上只有1个零点，

当，且，即时，

在上有2个零点，

当，且，即且

不存在此类情况.

综上所述：

当，在区间上没有零点；

当或时，在上只有1个零点；

当时，在区间上有2个零点.