Question

如图所示，四棱锥中，平面，，，，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）设二面角为，，，求四棱锥的体积.

Answer

（1）见证明；（2）

【解析】

（1）取PC中点F，连接EF，BF，则可证四边形为平行四边形，∴，由线面平行的判定定理即可得证.

（2）设，则，进而可表示出任意点的坐标．由题意知平面，故平面的一个法向量为，又，，设平面的法向量，则其中一条法向量，结合二面角为，可求出，所以即可求出.

【解析】
（1）证明：取中点，连，，则，

∵，

∴，

∴四边形为平行四边形

∴

∵平面，平面

∴平面.

（2）以为原点，，，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系

设，则，，，，，，

∵，∴平面，故平面的一个法向量为

，，设平面的法向量，

由得.令得，

即

依题意，∴，解得

∴ .