Question

设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值.

Answer

(1) 当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)3.

【解析】

（1）先求导，再对进行分类讨论，利用导数与函数的单调性的关系即可得出；

（2）由（1）可知，若函数有两个零点，则，且.转化为求满足的最小正整数的值，利用单调性判断其零点所在的最小区间即可求得.

（1）函数的定义域为.

.

,

当时，，函数在上单调递增；

当时，由，得；由，得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由（1）可知，若函数有两个零点，则，且.

即，

即，

.

令，易知在上是增函数，且，

又，

即.

所以存在，使，

当时，；当时，.

所以满足的最小正整数的值为3.

又时，，且函数在上单调递减，在上单调递增，

时，函数有两个零点.

综上，满足条件的最小正整数的值为3.