Question

已知圆C：．

(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；

(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于两点，求证：为定值；

(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使的面积最大．

Answer

(1)圆心C的坐标为(－1，0)， 圆的半径长为2；(2)证明见解析； (3)

．

【解析】

试题（1）把圆的一般方程化为标准方程即可；（2）设出直线方程，联立圆的方程，根据根与系数的关系化简即可证出；（3）

试题解析：(1)配方得(x＋1)2＋y2＝4，则圆心C的坐标为(－1，0)(2分)， 圆的半径长为2；

(2)设直线l的方程为y＝kx，联立方程组

消去y得(1＋k2)x2＋2x－3＝0(5分)，则有：

所以为定值.

(3)解法一 设直线m的方程为y＝x＋b，则圆心C到直线m的距离，

所以，

≤，

当且仅当，即时，△CDE的面积最大

从而，解之得b＝3或b＝－1，

故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0

解法二 由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2，

所以≤2，

当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时

设直线m的方程为y＝x＋b，则圆心C到直线m的距离

由，得，

由，得b＝3或b＝－1，

故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.