Question

已知函数.

（1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）当为何值时，有两个零点.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）换元，于是将问题转化为关于的不等式对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，求出二次函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围；

（2）令得出，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数的值.

（1），令，

由可得不等式对任意的恒成立，则，

二次函数在上单调递减，则，

，因此，实数的取值范围是；

（2）令，即，可得出，

令，则，

作出函数与直线的图象如下图所示：

由上图可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点.

因此，或.