Question

如图，已知是直角梯形，且，平面平面，， ， ，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由四边形是平行四边形，得，从而平面；

（2）通过建立空间直角坐标系，套用求二面角的公式，即可得到本题答案.

（1）证明：取的中点，连结，

因为是的中点，所以，，

因为，且，

所以，且，所以四边形是平行四边形，

所以，

因为平面，平面，所以平面；

（2）因为，平面平面，

所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内.

由已知可得，，，.

所以，，

设平面的法向量为，

由

所以，取，所以，

又因为平面的一个法向量为，

所以，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.