Question

已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线：与椭圆交于，两点.当时，是椭圆的下顶点，且的周长为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的右顶点为，直线、分别与直线交于、点，证明：当变化时，以线段为直径的圆与直线相切.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由与椭圆交于两点.当时，是椭圆的下顶点，且的周长为6，得，，解得，即可得到本题答案;

（2）联立直线方程与椭圆方程，得，，先求得两点的坐标，然后可以表示出以线段为直径的圆的标准方程，最后由圆心到直线的距离等于半径，即可得到本题答案.

（1）由题意知，，∴①

又当时，直线的方程为，∴，∴②

联立①、②有，，∴椭圆的方程为.

（2）设、，

将直线：代入中有，

∴，，

此时：，：，

∴、，

∴以线段为直径的圆的方程为.

化简得：，

又圆心到直线：的距离为.

∴以线段为直径的圆与直线相切.