Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面.已知，.

（1）证明：平面；

（2）证明：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据及线面平行判定定理可证得结论；

（2）由面面垂直性质可证得平面，由线面垂直性质可证得结论；

（3）取的中点为，根据垂直关系可以为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

（1）四边形为矩形

平面，平面 平面

（2）平面平面，平面平面， 平面，

平面

平面

（3）取的中点为，取的中点为，连接，则

平面

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示

不妨设

， ，，

，，，，

则，，

由（2）可知：

平面， 平面

为平面的一个法向量

设平面的一个法向量为

则，令，解得：，

二面角为钝角 二面角的余弦值是