Question

已知抛物线经过点.

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）过抛物线的焦点的直线交于两点，设为原点.

（ⅰ）当直线的斜率为1时，求的面积；

（ⅱ）当时，求直线的方程.

Answer

（1），；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.

【解析】

（1）将点代入抛物线方程可求得，进而得到结果；

（2）设，

（i）设直线，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式；由，整理得到，代入韦达定理可求得结果；

（ii）设直线，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式；由，结合抛物线定义得到，与韦达定理的结论联立后可求得，进而得到结果.

（1）抛物线过点 ，解得：

抛物线的方程为，准线方程为

（2）由（1）知：

设，

（i）由题意得：直线的方程为

联立得：

，

的面积为.

（ii）易知直线的斜率存在且不为

设直线

联立得：

，即…③

联立②③，解得：，代入①得：

直线的方程为