Question

已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的左顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线（）交椭圆于两点（不同于点）.过原点的一条直线与直线交于点，与直线分别交于点.

（ⅰ）当时，求的最大值；

（ⅱ）若，求证：点在一条定直线上.

Answer

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.

【解析】

（1）将点代入直线方程可求得，结合离心率和椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；

（2）设，

（i）将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式表示出，由二次函数最大值可求得的最大值；

（ii）设直线，直线，两式联立可求得，同理可得，根据得到，整理得，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入上式得，从而得到，将直线与直线联立可求得，进而得到结果.

（1）设

点在直线上 ，解得：

离心率 ，

椭圆的方程为

（2）设，

（i） 由消去可得：

即，由得：

，

当且仅当时，取到最大值

（ii）若，则为的中点

设直线，直线

两个方程联立可得：，解得：

同理可得：

即

化简得：…①

由得：，即

由得：

，

代入①得：

，即

若，则直线过点，与已知不符合

又

又由，联立消去得：

点在定直线上