Question

如图，四棱锥中，平面，，为等边三角形，.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

1）推导出，从而，设为边的中点，连结，，推导出四边形为平行四边形，从而，进而是，面，由此能证明．

（2）推导出面面，作于点，平面，以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）平面，平面，面面，

，

设为边的中点，连结，，

，四边形为平行四边形，，

又为等边三角形，，

，面

面，

．

（2）面，平面，面面，

在面中，作于点，平面，

以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，

如图所示．则，2，，，2，，，0，，，

则，，

设为平面的法向量，则，

取，得，

为平面的法向量，

则．

二面角为锐角，

二面角的余弦值为．