Question

已知点，点为动点，以为直径的圆内切于.

（1）证明为定值，并求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与交于两点，直线过点且与垂直，与交于两点，为的中点，求的面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知及椭圆的定义可得到点的轨迹方程；（2）设直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由根与系数关系表达三角形的底和高代入三角形的面积公式利用函数求最值.

（1）设以为直径的圆的圆心为，半径为，则，

由

所以，为定值，

由

所以，点的轨迹为以，为焦点的椭圆；

则，，

所以，点的轨迹方程为：；

（2）设

由，消去得，

易得，△．

为的中点，，

设，，，，

又到的距离

所以，

设，则

所以，

记，在，上递增，（1），

所以，的最大值为，即，的面积的最大值为．