Question

设函数有两个极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）对函数求导，设，令，得，可得（1），分类讨论，①当，无极值，不合题意，舍去；②当，，为的两个极值点，符合题意．可得的范围;（2）不妨设，由，可得，可求．即可得证．

（1），

设，则，

令，得：，可得：，，递增；，，递减．

（1），

①当，即时，，即，所以，递减，无极值，不合题意，舍去；

②当，即时，则（1），

，，

（1），

在有唯一零点，

又，且

设（a），（a），

（a）在上递增，

（a）．

（1），

在有唯一零点，

从而，，，递减；，，，递增；，，，递减；

所以，，为的两个极值点，符合题意．

综上，，

（2）证明：不妨设，，

由，有，

．得证．