Question

如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．

（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；

（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；

（3）问在棱上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）点为的四等分点.

【解析】

（1）取中点，设面，连，则为二面角的平面角，

利用解直角三角形可求其正切值．

（2）连，则为异面直线与所成的角，根据勾股定理求得，进而求得后可求的值．

（3）可证点为的四等分点．

（1）取中点，设面，连，

则为二面角的平面角，

为侧棱与底面所成的角，，

设，，，

∴．

（2）连，为异面直线与所成的角．

因为，，所以平面.

平面，所以.

∵,

∴。

（3）延长交于，取中点，连、．

因为，，，

故平面，因平面，

故平面平面，

又，故为等边三角形，

所以，由平面，故

因为，所以平面.

取的中点，∵，∴，

∴四边形为平行四边形，所以

∴平面．即为四等分点