Question

已知是椭圆的左、右焦点，离心率为，是平面内两点，满足，线段的中点在椭圆上，周长为12.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过的直线与椭圆交于，求（其中为坐标原点)的取值范围.

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）连接，由向量的性质得出点是线段的中点，结合中位线定理以及椭圆的性质得出，再由离心率公式得出，进而得出，即可得出椭圆方程；

（2）当直线的斜率不存在时，将直线，代入椭圆方程，得出坐标，利用向量数量积公式得出；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并代入椭圆方程，利用韦达定理得出，的值，由判别式得出的范围，求出，利用向量的数量积公式得出，最后由不等式的性质得出其范围.

（1）连接，，，

是线段的中点，是线段的中点，

由椭圆的定义知，，

周长为

由离心率为知，，解得

椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线，代入椭圆方程解得，

此时，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

代入椭圆的方程整理得，

设，则，

，解得

=

，，，

综上所述，的取值范围为.