Question

如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.

（1）求证：平面；

（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得平面；

（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P- ABCD的体积.

【解析】
（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以PD⊥AC，又，

故AC⊥平面PBD；

（2）因为PD⊥平面ABCD，

所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，

于是∠PBD=45°，

因此BD=PD=2.又AB= AD=2，

所以菱形ABCD的面积为，

故四棱锥P- ABCD的体积.