Question

已知函数（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）若函数有2个零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据等价转化思想，可得图像有两个交点，根据数形结合可得结果.

（Ⅱ）化简式子，可得在上恒成立，构建函数，利用导数并结合分类讨论的方法判断函数单调性，，然后计算，可得结果.

（Ⅰ）令，故，显然，

故，令，

故，

当时，；

当时，；

当时，；

作出函数的图像如下所示；

观察可知，时满足题意，

即实数的取值范围为；

（Ⅱ）依题意：，

即在上恒成立，

令，，

则，

令，即，则；

（ⅰ）当，即时，

对于任意，，

故在上单调递减；

对于任意，，

故在上单调递增；

因此当时，

有最小值为，

即

此时；

（ⅱ）当，即时，

对于任意，，

故在上单调递减，

因为，所以，即；

综上所述，实数的取值范围为.