Question

如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为中点，为上一点，，为中点．

（1）证明：平面；

（2）求四面体的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

（1）连接，由平行等于，所以为平行四边形，根据及可证即，又平面，可证，故可证平面；

（2）过作交于点，可得平面，因此，求出四面体RMNB1体积即可求出四面体PMNB1的体积．

（1）连接，由平行等于，所以为平行四边形，

，，所以．

又，所以，即．

在正方体中，平面，

又，所以平面，

平面，所以，

又，所以平面．

（2）过作交于点，

∵，可得，平面，平面，

∴平面，∴，

由，所以，，．

所以．