Question

已知圆C：x²+y²+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y²＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．

（1）求抛物线E的方程；

（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．

Answer

（1）y2＝4x （2）y＝5x﹣20

【解析】

（1）求得圆的圆心和半径，抛物线的焦点和准线方程，由三角形的面积公式和圆的弦长公式，计算可得，可得抛物线的方程；

（2）不过原点的动直线的方程设为，，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，解方程可得，即有动直线恒过定点，结合图象可得直线时，到直线的距离最大，求得直线的斜率，可得所求方程．

【解析】
（1）圆的圆心，半径为1，

抛物线的准线方程为，，，

由的面积为，可得，即，

可得经过圆心，可得．则抛物线的方程为；

（2）不过原点的动直线的方程设为，，

联立抛物线方程，可得，

设，，，，可得，，

由可得，即，即，解得，

则动直线的方程为，恒过定点，

当直线时，到直线的距离最大，

由，可得到直线的距离的最大值为，

此时直线的斜率为，

直线的斜率为5，可得直线的方程为．