Question

如图，在四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，底面为菱形，其中，．

（1）证明：；

（2）求与面所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点，则，，从而平面，由此能证明．

（2）取中点，则平面，由等体积法可得，求出，与面所成角的正弦值为：，由此能求出结果．

（1）取中点，则

，则平面，因此

（2）方法一：由题意可得为正三角形

且平面平面，则取中点，因此平面．

，，

由等体积法可得，即，则

因此与面所成角的正弦值为．

方法二：设与面所成角为，．

方法三：如图建立空间直角坐标系；

则，，，则，，．

设平面的法向量为，则，

令，

则

则与面所成角的正弦值为