Question

已知正项数列，满足，其中为的前项和．

（1）求的通项公式；

（2）已知数列，求数列的前项和，并求出满足对恒成立时，实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）应用数列的递推式：时，；时，，化简结合等差数列的定义、通项公式可得所求；

（2）求得，讨论为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，可得所求和，由单调性可得最小值，结合不等式恒成立思想可得所求范围．

（1）由题意可得，可得．

同时当时，两式相减可得

化简可得，由此可得

则数列是以为首相，公差为的等差数列

故的通项公为

（2）由题意可得

当为奇数时，可得

故，此时单调递减，且．

同理可得当为偶数时，，因此单调递增，

由此可得

欲满足对恒成立，故只需，解得．