Question

已知抛物线，过焦点的斜率存在的直线与抛物线交于，，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知与抛物线交于点（异于原点），过点作斜率小于的直线交抛物线于，两点（点在，之间），过点作轴的平行线，交于，交于B，与的面积分别为，，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设过焦点的直线与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，将到焦点的距离转化为到准线的距离求出，再由椭圆求出的值，即求出抛物线的方程；

（2）设的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由（1）及椭圆求出的坐标，所以求出两个商量下的面积，进而求出面积之比，转化为用一个变量表示，再由题意知坐标的取值范围，求出面积之比的取值范围．

（1）设直线的方程为，，

联立方程可得，可得，由此可得．

故

化简可得，

则，

故抛物线的方程为

（2）设直线的方程为，，

联立方程可得，消去，可得，

则

因为，

因此

因为，则，

由此可得，

因为，

由此可得