Question

已知函数，且在处切线垂直于轴．

（1）求的值；

（2）求函数在上的最小值；

（3）若恒成立，求满足条件的整数的最大值．

（参考数据，）

Answer

（1）；（2）0；（3）2.

【解析】

（1）依题意，，由此即可求得的值；

（2）求导，研究函数在，上的单调性，进而得到最值；

（3）先分析，再证明当时满足条件即可得到的最大值．

（1）因为在处切线垂直于轴，则

因为，则，则

（2）由题意可得，注意到，

则则

因此单调递减，，

因此存在唯一零点使得，则在单调递增，

在单调递减，，则在上恒成立

从而可得在上单调递增，则

（3）必要条件探路

因为恒成立，令，则

因为，由于为整数，则，

因此

下面证明恒成立即可

①当时，由（1）可知，则

故，设，

则，则在单调递减

从而可得，由此可得在恒成立．

②当时，下面先证明一个不等式：，设

则，则在单调递减，在单调递增

因此，那么

由此可得

则，

因此单调递增，，

则在上单调递增，因此

综上所述：的最大值整数值为．