Question

已知函数.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；

（2）问题可转化为求解函数在区间上的最小值，求导后对实数分和两种情况讨论，求出，然后解不等式，即可求得实数的取值范围.

（1）当时，，，

由题意可得，，切线斜率，

故曲线在处的切线方程，即；

（2）.

①若，则对任意的，，则函数在上单调递减，则只要，

解可得，，不合题意，舍去；

②若，当时，，当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

故只要，，解得.

综上可得，的范围为.